La Arquitectura vinculada con las Matematicas

viernes, 23 de enero de 2015

Integrales

Concepto de Integral

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función

Si F^!(x) = f(x), se representa

A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación∫f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

· ∫ kfx dx = k ∫f x dx

· ∫ (f x+ gx) dx = ∫f x dx + ∫g x dx

Ejemplos

La aplicación de la segunda fórmula

Se aplica nuevamente la fórmula anterior combinada con la propiedad antes descrita

Cuando el grado del numerador es mayor o igual es denominador, se debe realizar una división de polinomios

Ejercicios

Aplicación

Su aplicación tiene un fin general en la arquitectura, en crear proyectos con formas complejas y dinámicas. Los procesos geométricos y de calculo nos permiten manipular con mayor precisión nuestro diseño para llegar a resultados óptimos, esto se centra en edificios que tienen una figura amorfa, donde el calculo de su área resulta un poco complejo es por ello que es implementan las integrales definidas, estas representan el área limitada por la gráfica de una función(curvas y rectas),ademas ayuda a calcular la cantidad de hierro y cemento que vas a emplear en la obra.

A este tipo de proyectos los encontramos en

Arquitectura orgánica
Arquitectura digital
Arquitectura parametrica
Cubiertas de doble curvatura

Tree Hotel(Arq orgánica)diseñada por el estudio Tham & Videgård Architects -Suecia

Endesa World Fab Condenser diseñada por MARGEN-LAB(Arq. parametrica)-España

VIDEO

Bibliográfia:http://www.inetor.com/http://www.inetor.com/indefinidas/definicion_integral.html http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

domingo, 28 de diciembre de 2014

Aplicacion de las derivadas

Pendiente, tangente de una curva

La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.

El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos.

La recta y=m⋅x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos:

1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a))

2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f′(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:

y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)

Ejercicio:

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejemplo:

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

· 2 y 3 s.

Valores extremos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

Notas:

1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.

2) Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.

Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b].

A continuación una guía para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalor [a,b]:

1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.

2) Evalua cada c en la función para obtener los puntos críticos.

3) Halla f(a) y f(b).

4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3.

Ejercicio:

Determinar valores en la siguiente función f(x) = x³ − 3x + 2

Segunda Derivada

Al derivar la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Ejemplo:

Ejercicio: cálculo de derivadas

Aplicación

Al aplicar las derivadas a una función de una construcción se puede conocer los puntos máximos,mínimos,concavidad,punto de inflexión convexidad; por lo tanto se encuentra en que punto fijo se eleva y desciende mas,cambio de dirección, o la expansión hacia arriba o abajo.
A esto se aplican cálculos especiales, para obtener infraestructuras seguras y resistentes

Cúpula del Parlamente Berlinés-Alemania

Dubai-Emiratos Árabes Unidos

Bibliografia:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm

http://www.sangakoo.com/es/temas/recta-tangente-a-una-curva-en-un-punto

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Aplicaciones%20de%20la%20derivada.pdf

jueves, 4 de diciembre de 2014

Derivadas

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí.

Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño

Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto "a" como:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:

Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f = (a+), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a-), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

La pendiente de una curva

En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en

(x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:

supuesto que el límite exista.

Ejemplo:

Calcular la derivada de la función

f(x) =

en el punto 2.

Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: Halla la derivada de:

Reglas Básicas de la Derivación

Aplicación en la Arquitectura

Se utilizan para calcular razones de cambio cuando se tiene una función que indica algún crecimiento o decrecimiento económico, también sirve para el cálculo del trabajo o energía utilizada, cálculos de cargas en una superficie y en circuitos eléctricos. También sirve para minimizar y maximizar fórmulas que nos ayuda a calcular las dimensiones de un objeto construido y también sirve para calcular la resistencia de los materiales. Los arquitectos usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares.