Pendiente, tangente de una curva
La recta tangente a una curva es la
que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el
mismo grado de variación.
El conocimiento de la recta tangente
permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar
tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se
observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como
se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en
problemas más complejos.
La recta y=m⋅x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los
siguientes requisitos:
1. Pasa por el punto
de tangencia: (a,f(a))
2. Tiene el mismo
pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f′(a)
Entonces, se puede escribir la
ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:
y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)
Ejercicio:
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto
(0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento
rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá
la posición del móvil x en el instante t. Las
posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas
si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el
tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra
en posición x, más tarde, en el instante t' el
móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha
desplazado Dx=x'-x en el intervalo
de tiempo Dt=t'-t, medido desde el
instante t al instante t'.
La velocidad media entre los instantes t y t' está
definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer
el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en
el límite cuando Dt tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con
respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el
siguiente ejercicio
Ejemplo:
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo.
Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v,
y en el instante t' la velocidad del móvil es v'.
Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al
cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de
tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la
aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero,
que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5
m. Hallar la expresión de
- La velocidad
- La aceleración del móvil en
función del tiempo.
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición
en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1,
donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
·
2 y 3 s.
Valores extremos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
Si f'(a) = 0.
Si f''(a) ≠ 0.
Máximos relativos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) < 0
Mínimos relativos
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) > 0
Notas:
1) Una
función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.
2) Si f es
una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto
que f alcanza en todo número real c.
Teorema: Si f es continua en el intervalo
[a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b].
A
continuación una guía para hallar los valores extremos
de una función continua en el intervalor [a,b]:
1) Halla los
números críticos de f, igualando f’(x) a cero.
2) Evalua
cada c en la función para obtener los puntos críticos.
3) Halla f(a) y f(b).
4) Determina
los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y
menores de la función f en los pasos 2 y 3.
Ejercicio:
Ejercicio:
Determinar
valores en la siguiente función f(x) =
x3 − 3x + 2
Segunda Derivada
Al derivar la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Ejemplo:
Ejercicio: 
Aplicación
A esto se aplican cálculos especiales, para obtener infraestructuras seguras y resistentes
Cúpula del Parlamente Berlinés-Alemania
Dubai-Emiratos Árabes Unidos
Bibliografia:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
http://www.sangakoo.com/es/temas/recta-tangente-a-una-curva-en-un-punto
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Aplicaciones%20de%20la%20derivada.pdf
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