Origen:
Unión de dos vocablos que tienen su origen etimológico
en lenguas antiguas. Así, límites procede de la palabra latina limes, que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo.
El límite de una función es el concepto
principal que distingue al cálculo del algebra y de la geometría analítica. La noción
es fundamental para el estudio del cálculo, ya que analiza el comportamiento de
una función cuando la variable toma valores cercanos a un determinado valor del
dominio.
Ejemplo:
Limite Finito e Infinito
Limite Infinito:Limx - a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x,0 < |x-a| < δ|f(x) – b| < ε.
Otra notación: Limx->af(x)=b <=>
para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x
perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.
Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a,
si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que
para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función
pertenece al entorno de b de radio ε.
Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por
pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno
reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de
radio ε.
lim x->a f(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno
considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para
cuyos valores x(x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro
del entorno de b considerado.
En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x
tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al
valor b cuando x se aproxima al valor a.
Límites infinitos
Empecemos definiendo qué es un límite infinito de
una función f(x):limx→+∞f(x)=+∞⟺ dado
un número arbitrario k, existe otro número h tal que
si x>h entonces f(x)>k
Intuitivamente, nos viene a decir que podemos conseguir que f(x) sea
tan grande como queramos sólo escogiendo un valor suficientemente grande
de x.
Para límites donde x tiende a menos infinito: limx→−∞f(x)=+∞⟺ dado
un número arbitrario k, existe otro número h tal que
si x<−h entonces f(x)>k
limx→−∞f(x)=−∞⟺ dado un número arbitrario k, existe otro número h tal que si x<−h entonces f(x)<−k
limx→−∞f(x)=−∞⟺ dado un número arbitrario k, existe otro número h tal que si x<−h entonces f(x)<−k
Caso 1: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 para todo x perteneciente al E*a,δf(x) > A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
Caso 2:limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δf(x) < -A.
Caso 3:limx->+inff(x) = +inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox > Bf(x) > A.
Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es
posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B,
f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si
x es lo suficientemente grande.
Caso 4: limx->+inff(x) = -inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox > Bf(x) < -A.
Caso 4: limx->+inff(x) = -inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox > Bf(x) < -A.
Caso 5:limx->-inff(x) = +inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox < -Bf(x) > A.
Caso 6:limx->-inff(x) = -inf <=> para todoA < 0 existeB < 0 / para todox < -Bf(x) < -A.
Caso 7:limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.
Caso 8:limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.
Continuidad en un Punto
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición
Teorema de Continuidad
Ejercicio: Resuelva el siente ejercicio planteado
Continuidad en un Intervalo
Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).
Ejemplo: La función m: R ® R / m(x) = 
es continua en los intervalos (-¥ , 2) È (2, +¥).Su gráfica:
Ejercicio: Analice la continuidad de
la función h(x) = 
en el intervalo (–1, 1).
Continuidad de una función en un intervalo cerrado
La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.
Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si
y es continua a la izquierda de a si 
.
Ejemplo: La función que describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo que se derrama por una fisura de un tanque luego de t minutos está dada por:
Su gráfica:
Ejercicio:
Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?
Se usan los límites en el cálculo (análisis de lo real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración de muchas cosas.
Continuidad de un intervalo en la Arquitectura:
en el intervalo (–1, 1).Continuidad de una función en un intervalo cerrado
La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.
Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si
y es continua a la izquierda de a si .Ejemplo: La función que describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo que se derrama por una fisura de un tanque luego de t minutos está dada por:
Su gráfica:
Ejercicio:
Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?
Propiedades de los límites
Ejercicio: Calcular el siguiente limite, justificando que propiedad esta usando.
Aplicación de los límites en la arquitectura
Los límites en la Arquitectura, sirven para
la elaboración de gráficas que ayudan a
saber el nivel de producción y encontrar
el menor costo posible para generar una mayor ganancia; es decir un análisis financiero.
Un ejemplo de esto es cuando se
presenta un alza en los costos del material o que costo se había generado
anteriormente, además nos ayuda a saber qué precio que se aplicara al nuevo
diseño arquitectónico para el futuro cliente.
Se usan los límites en el cálculo (análisis de lo real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración de muchas cosas.
También sirve para realizar cálculos
estructurales de un puente o una edificación a futuro.
Otra aplicación de los límites es saber el crecimiento de una población en la cual se va a trabajar; y el trabajo que éste desempeñará, al construir una vivienda más por cada habitante que se integre, y poder calcular más o menos un balance total.
Otra aplicación de los límites es saber el crecimiento de una población en la cual se va a trabajar; y el trabajo que éste desempeñará, al construir una vivienda más por cada habitante que se integre, y poder calcular más o menos un balance total.
Continuidad de un intervalo en la Arquitectura:
- Estructuras de vigas columnas, losas
- Deformaciones de vigas
En la arquitectura se tiene
en cuenta los límites ya que ayudan
a resolver los problemas que ellos
generan, mediante soluciones.
Video:
Bibliografia:
- http://electrodragones.wordpress.com/limites-finitos-y-limites-infinitos/
- http://ed21.webcindario.com/LimitesYContinuidad/limites_unilaterales.htm
- https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/2/1486.pdf
- http://www.fca.unl.edu.ar/Continuidad/3.2%20Funci%F3n%20continua%20en%20unintervalo.htm
- http://www.vitutor.com/fun/3/c_a.html
- http://matematica.50webs.com/limite-infinito.html
